7. Les indicateurs de dispersion

En statistique, un indicateur de dispersion mesure la variabilité des valeurs d’une série statistique. Il est toujours positif et d’autant plus grand que les valeurs de la série sont étalées autour d’un indicateur de position centrale (la moyenne, la médiane, ou le mode).

Les plus courants sont la variance, l’écart-type et l’écart interquartile.

variance

La variance est une mesure statistique qui quantifie la dispersion d’un ensemble de valeurs par rapport à leur moyenne. Elle indique à quel point les valeurs d’un échantillon ou d’une population s’écartent, en moyenne, de la moyenne globale.

Tip

La variance est la moyenne des carrés des écarts par rapport à la moyenne.

Plus formellement, soit \(d_i\) la distance (c’est-à-dire l’écart en valeur absolue) qui sépare la \(i\)e modalité (observation) de la moyenne. La variance, souvent notée \(s^2\), est la moyenne des \(d_i^2\) (la distance Euclidienne)

Formules de la variance pour une population (variance populationnelle)

\[ \sigma^2 = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (x_i - \mu)^2 \]

Où :

• \(\sigma^2\) est la variance de la population,
• \(N\) est le nombre total d’éléments dans la population,
• \(x_i\) représente chaque valeur individuelle,
• \(\mu\) est la moyenne de la population.

Formules de la variance pour un échantillon (variance empirique)

Les données sont à l’état brut

\[ s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}{n} \]

\[ s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n}x_i^2}{n} - \bar{x}^2 \]

\[ s^2 = \frac{x_1^2 + x_2^2 + \dots + x_n^2}{n} - \bar{x}^2 \]

Exemple

knitr::kable(iris$Sepal.Length,
              align = 'c',
              caption = "Longueur des sépales des iris")

Longueur des sépales des iris

x
5.1
4.9
4.7
4.6
5.0
5.4
4.6
5.0
4.4
4.9
5.4
4.8
4.8
4.3
5.8
5.7
5.4
5.1
5.7
5.1
5.4
5.1
4.6
5.1
4.8
5.0
5.0
5.2
5.2
4.7
4.8
5.4
5.2
5.5
4.9
5.0
5.5
4.9
4.4
5.1
5.0
4.5
4.4
5.0
5.1
4.8
5.1
4.6
5.3
5.0
7.0
6.4
6.9
5.5
6.5
5.7
6.3
4.9
6.6
5.2
5.0
5.9
6.0
6.1
5.6
6.7
5.6
5.8
6.2
5.6
5.9
6.1
6.3
6.1
6.4
6.6
6.8
6.7
6.0
5.7
5.5
5.5
5.8
6.0
5.4
6.0
6.7
6.3
5.6
5.5
5.5
6.1
5.8
5.0
5.6
5.7
5.7
6.2
5.1
5.7
6.3
5.8
7.1
6.3
6.5
7.6
4.9
7.3
6.7
7.2
6.5
6.4
6.8
5.7
5.8
6.4
6.5
7.7
7.7
6.0
6.9
5.6
7.7
6.3
6.7
7.2
6.2
6.1
6.4
7.2
7.4
7.9
6.4
6.3
6.1
7.7
6.3
6.4
6.0
6.9
6.7
6.9
5.8
6.8
6.7
6.7
6.3
6.5
6.2
5.9

Quelle est la variance de cette série ?

var(iris$Sepal.Length)

[1] 0.6856935

Le cas d’une variable discrète

\[ s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} n_i \times (m_i - \bar{x})^2}{n} \]

\[ s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} n_i \times m_i^2}{n} - \bar{x}^2 \]

\[ s^2 = \frac{n_1 \times m_1^2 + n_2 \times m_2^2 + \dots + n_i \times m_i^2}{n} - \bar{x}^2 \]

Le cas d’une variable continue

\[ s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} n_i \times (c_i - \bar{x})^2}{n} \]

\[ s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} n_i \times m_i^2}{n} - \bar{x}^2 \]

\[ s^2 = \frac{n_1 \times m_1^2 + n_2 \times m_2^2 + \dots + n_i \times m_i^2}{n} - \bar{x}^2 \]

---

\[ s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2 \]

Où :

• \(s^2\) est la variance de l’échantillon,
• \(n\) est la taille de l’échantillon,
• \(x_i\) représente chaque valeur de l’échantillon,
• \(\bar{x}\) est la moyenne de l’échantillon.

La différence principale entre les deux formules est que, pour un échantillon, on divise par \(n-1^\) (au lieu de \(N\)) pour corriger le biais d’estimation de la variance de la population.

Interprétation

• Une variance faible signifie que les valeurs sont proches de la moyenne.
• Une variance élevée indique une grande dispersion des valeurs autour de la moyenne.
• Une variance nulle signifie que toutes les valeurs sont identiques.

Exemple

Considérons les valeurs : ( 2, 4, 6, 8, 10 ).
La moyenne est : [ {x} = = 6 ] La variance de l’échantillon est : [ s^2 = ] [ = = = 10 ]

Écart type

L’écart-type, souvent noté 𝑠, est la racine carrée de la variance. Autrement dit, l’écart-type est une distance moyenne d’écart (entre les observations / modalités et la moyenne)

Lien avec l’écart-type

L’écart-type (( ) ou ( s )) est la racine carrée de la variance : [ = , s = ] Il est souvent utilisé car il s’exprime dans la même unité que les données.

Écart interquartile